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En la entrada relativa al VAN, los cálculos se realizan a partir de un tipo de interés de actualización elegido.

En cambio, la tasa de retorno o Tasa Interna de Rendimiento de una inversión o proyecto es aquel tipo de actualización o descuento, r, que hace igual a 0 el Valor Actual Neto (rentabilidad absoluta neta de la inversión). Es decir, la Tasa Interna de Rendimiento es aquel valor de i que verifica la ecuación:

 

V.A.N. = ∑ (Rj / (1 + λ)j ) – K = 0

 

Variando j desde 1 hasta n, siendo n el número de años o duración de la inversión.

 

Se puede decir que una inversión es rentable si su TIR (λ), es superior al tipo de interés (i) al cual el inversor puede conseguir los recursos financieros. 

 

El criterio de al TIR proporciona una medida de la rentabilidad relativa bruta anual por unidad monetaria comprometida en el proyecto.  Es relativa ya que se define en tanto por uno o tanto por ciento y es bruta porque de la misma falta descontar el coste de financiación de los capitales invertidos en el proyecto.

 

Por esto, para aceptar o rechazar un proyecto de inversión, el criterio compara la rentabilidad relativa bruta por unidad monetaria invertida con el coste de capital medio ponderado de la empresa.  De esta forma, por diferencia entre ambas, puede obtenerse una medida de la rentabilidad relativa neta por unidad monetaria invertida en el proyecto.

 

En el método del Valor Actual Neto, el tipo de actualización o descuento i era un dato que de una forma u otra (como ya vimos), y con mayor o menor precisión, podíamos estimar con datos del mercado de capitales. Sin embargo, en este criterio el tipo de descuento que anula el Valor Actual Neto es precisamente la incógnita del problema.

Por otra parte, también en el criterio de la Tasa Interna de Rendimiento se necesita conocer el “suelo” mínimo de rentabilidad i, para poder decidir si conviene llevar a cabo la inversión.  En ese sentido, sólo interesará realizar aquellos proyectos o inversiones cuya Tasa Interna de Rendimiento r sea superior al coste del capital i, que es la llamada condición de efectuabilidad que ya hemos visto.

 

Cuando existan varias alternativas de inversión que cumplan esta condición de efectuabilidad, se dará prioridad a aquellas cuya Tasa Interna de Rendimiento sea mayor.

 

Inconvenientes

 

Los inconvenientes que presenta el criterio de al TIR pueden considerarse bastante mayores a los que presenta el criterio del VAN y que ya hemos estudiado.

 

a)     Hipótesis de reinversión o financiación de los flujos intermedios

 

En el método de la Tasa Interna de Rendimiento también se supone que los cobros netos intermedios son reinvertidos a un tanto de rendimiento “r”, y que los pagos netos, también intermedios, son financiados con unos costes cuyo tipo también es “r”.

Ahora bien, es conveniente señalar que esta hipótesis es más irreal, si cabe, que la del criterio del VAN por cuatro motivos,

 

1. Del mismo modo que el VAN no es lógico considerar que una vez reinvertidos los flujos netos de caja van a permanecer inmovilizados en los mismos activos hasta la conclusión del proyecto.

 

2.Presupone, a priori, que la empresa puede obtener de los activos que constituyen el soporte físico de la reinversión la misma rentabilidad que se obtiene del proyecto originario.  Esto es poco realista ya que los activos que constituyan el soporte físico de la reinversión pueden proporcionar una rentabilidad que no tiene por qué ser necesariamente igual a la TIR del proyecto.

 

3.Es una hipótesis pesimista en lo que respecta a la financiación de los flujos netos de caja ya que presupone que se va a efectuar a un coste superior a lo que cuesta a la empresa financiar, en términos de promedio, el resto de su actividad productiva.

 

4.Por último, para calcular la rentabilidad relativa bruta es necesario tener en cuenta el rendimiento que la empresa puede obtener de la reinversión de los flujos netos de caja a una tasa determinada. Esto supone conocer, a lo largo de la vida de la inversión, un dato, la tasa de reinversión, que no se sabrá hasta finalizada la vida útil de la misma ya que se trata de la propia TIR del proyecto.  El valor de la misma está condicionado, a su vez, por el rendimiento obtenido de los flujos netos de caja intermedios, esto es, por la tasa de reinversión.

 

EJEMPLO 4.  HIPOTÉSIS DE REINVERSIÓN DE LOS FLUJOS DE CAJA INTERMEDIOS PARA EL CASO DE LA TIR.

 

Una inversión cuya Tasa Interna de Rentabilidad fuera elevada (30%) presupondría que los fondos obtenidos en el primer. año serían colocados por la empresa al 30%, lo cual es una hipótesis irreal.

 

También, por ejemplo, cabe mencionar que una inversión con duración de dos años y T.I.R. del 40%, sería preferida a otra que tuviera una T.I.R. del 35% durante 10 años, planteamiento que resultaría muy discutible en la realidad.

 

Sobre la tasa de reinversión nos remitimos a lo ya comentado en el criterio del V.A.N.

b)     Existencia de múltiples tasas de rendimiento

 

Matemáticamente, la expresión de la TIR es una ecuación de grado n en al que la incógnita a despejar es la propia TIR.  Tradicionalmente, la resolución de este tipo de ecuaciones ha resultado tremendamente laboriosa ya que no existían algoritmos que permitiesen el cálculo directo del resultado.  La mayoría de las veces era necesario utilizar el método de las aproximaciones sucesivas.  Hoy, esto está resuelto con las hojas de cálculo.

 

Por otro lado, una ecuación de grado n tiene n soluciones (Teorema Fundamental del Álgebra) y como luego veremos más detalladamente, según la Regla de los Signos de Descartes, tiene tantas soluciones positivas como cambios de signo se den en la ecuación.

 

A continuación, abordaremos esta problemática de forma detallada.

 

b.1) Inversiones simples y no simples

 

Una inversión se dice que es simple cuando es positivo el signo de todos los flujos netos de caja Qj, y negativo el signo del desembolso inicial A. Por el contrario, cuando el importe de la inversión A es positivo y todos los flujos netos de caja son negativos, se dice que el proyecto es de financiación simple.

Cuando el importe de la inversión es negativo y algunos de los flujos netos de caja son también negativos, mientras que otros son positivos, se dice que la inversión es no simple.

 

Una clara situación de inconsistencia del criterio de la Tasa Interna de Rendimiento se presenta cuando nos encontramos con inversiones que presentan varias T.I.R. positivas o ninguna T.I.R. real (soluciones en forma de números imaginarios o complejos).

En estos casos, se dice que dicho criterio no es consistente ya que conduce a resultados que no concuerdan con la lógica económico – financiera, o al menos, no coinciden con el concepto intuitivo de tipo de interés.

 

¿Cómo es posible que existan inversiones con varias Tasas Internas de Rendimiento positivas o sin ninguna Tasa Interna de Rendimiento real? Este resultado se produce debido a que la fórmula de la T.I.R. es una ecuación de grado n, y según indica el Teorema Fundamental del Álgebra, toda ecuación de grado n tiene siempre n raíces o soluciones.

 

Por ello, este método, en la práctica, lo que se hace es tomar la raíz (solución) positiva (cuando existe en forma de número real y es única) y descartar las restantes soluciones negativas, nulas o imaginarias, por carecer de sentido económico.

 

El problema se plantea cuando existen varias Tasas Internas de Rendimiento (soluciones) positivas o no existe ninguna Tasa Interna de Rendimiento real.  Estas paradójicas (desde el punto de vista de la lógica económico – financiero) situaciones sólo se dan en algunas inversiones no simples.

 

La Regla de los Signos de Descartes establece que en toda ecuación de grado n puede haber tantas raíces positivas como cambios de signo existen. En nuestro caso, nos referimos a los signos que presentan el pago de la inversión, A, y los flujos de caja de cada año, Qj.

 

Las inversiones simples (para las que existe un único cambio de signo), y en las que A ≤ ΣQj. tienen siempre una única solución positiva. Normalmente, a la hora de introducir los conceptos necesarios para un estudio básico de la T.I.R. se fuerzan los ejemplos propuestos para garantizar que estas dos condiciones se cumplen.  Es obvio, que en la vida real, es más que probable que algún año, al menos, el flujo de caja correspondiente sea negativo, con lo cual no se cumple esa primera condición.  La demostración de la Regla de Descartes en este supuesto escapa a los objetivos de este blog.

El ejemplo del proyecto visto en el epígrafe del V.A.N. obedecería a este tipo de función o gráfica.  Se puede comprobar que:

 

r = 0 → VAN (0) = -A + ∑ Qj

r →∞ → VAN (∞) = -A

 

La 1ª derivada es negativa al ser decreciente.

 

d VAN (r) / dr <0 ; 0≤ r < ∞

 

Análogamente, tenemos la 2ª derivada

 

d2 VAN (r) / dr2 <0 ; 0≤ r < ∞

 

Si, por ejemplo, tomamos un proyecto de duración 2 años

 

VAN (r) = – A + Q1 / (1+r) + Q2 / (1+r)2

 

Para derivar respecto a  r, podemos hacer el cambio de variable y después aplicar la Regla de la Cadena. (1+r)=u.

 

Nos queda

-A+Q1u-1+Q2u-2.

 

A continuación, derivamos respecto a u y nos queda

 

– Q1-2 – 2Q2u-3

 

Ahora aplicaríamos la Regla de la Cadena, y por lo tanto habría que multiplicar cada sumando por la derivada de u respecto a r, que en este caso es 1.  Tendríamos pues, deshaciendo el cambio de la variable,

 

-Q1(1+r)-2 -2Q2(1+r)-3

 

que es la derivada de un VAN para un proyecto de inversión con una  duración 2 años. Si los flujos de caja son positivos, la 1ª derivada será negativa como ya hemos dicho.

 

Por lo tanto, la función Van(r) corta a la parte positiva del eje de abscisas en un solo punto.

 

Podemos concluir afirmando que en  toda inversión  simple existe siempre una única y significativa Tasa Interna de Rendimiento positiva (solución a la ecuación).

 

Ésta es condición suficiente pero no necesaria, ya que  pueden existir inversiones no simples que tengan una única y significativa Tasa Interna de Rendimiento positiva.

 

Puede verse que la función VAN(r) para las inversiones simples,

 

–         es monótona decreciente, es asintótica en el eje de abscisas a (–D) y

–          tiene un único punto de corte con el eje de abscisas.

 

EJEMPLO 5.  CASO DE INVERSIÓN NO SIMPLE CON TASA INTERNA DE RENDIMIENTO ÚNICA Y POSITIVA

 

Sea la inversión no simple definida por los siguientes flujos de caja:

Año 0 1 2 3
Flujo de caja A= -7 Q1 =30 Q2 = -20 Q3 = 552

 

La Tasa Interna de Rendimiento de esta inversión vendrá definida por la ecuación:

 

VAN (r) = -7 + 30 / (1+r) – 20 / (1+r)2 + 552 / (1+r)3 = 0

 

en donde r=500% y las otras raíces son imaginarias.   Si estudiamos el comportamiento de la función, obtenemos que:

 

r = 0 → VAN (0) = -A + ∑ Qj = 555

r →∞ → VAN (∞) = -A = -7

 

La 1ª derivada

 

d VAN (r) / dr <0 ; 0≤ r < ∞

 

Análogamente, tenemos la 2ª derivada

 

d2 VAN (r) / dr2 <0 ; 0≤ r < ∞

 

Así, hemos visto que pueden existir inversiones no simples con una única y significativa Tasa Interna de Rentabilidad, como ocurre en este caso.

También podemos tener inversiones no simples con más de una TIR real y positiva.  Veamos un ejemplo.

 

EJEMPLO 6.  CASO DE INVERSIÓN NO SIMPLE CON DOS TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO REALES Y POSITIVAS

 

Si consideramos el proyecto de inversión  no simple siguiente:

 

Desembolso inicial: -1.800 u.m

Flujo de caja del año 1: 20.000 u.m.

Flujo de caja del año 2: -20.000 u.m.

 

La TIR sería:

 

VAN = -1.800 + 20.000 / (1+r) – 20.000 / (1 + r)2 = 0

 

Existen dos soluciones a la ecuación (ya que es una ecuación de segundo grado).  En este caso, las dos son reales y positivas.

Por lo tanto, matemáticamente (ya hemos dicho que estas situaciones no tienen lógica económica) tenemos dos  tipos de descuento r que hacen el VAN = 0, r = 0’11 y r = 9.

 

Podemos ver como el VAN aumenta a medida que el tipo de descuento aumenta, alcanza un máximo y, a continuación, disminuye. La razón de este comportamiento está en que hay dos cambios de signo en la corriente de flujos netos de caja.

 

Además, podemos tener inversiones no simples que no tengan ninguna TIR real y positiva.  De nuevo, lo ilustraremos con un ejemplo.

 

EJEMPLO  7.  CASO DE INVERSIÓN NO SIMPLE SIN TASAS INTERNAS DE RENDIMIENTO REALES  Y POSITIVAS

 

Sea el siguiente proyecto de inversión no simple

 

Desembolso inicial: -1.200 u.m.

Flujo de caja del año 1: 4.000 u.m.

Flujo de caja del año 2: -4.000 u.m.

 

La TIR sería:

 

VAN = -1.200 + 4.000 / (1+r) – 4.000 / (1 + r)2 = 0

 

Si operamos y llegamos a la forma de ecuación de segundo grado, veremos que el discrimante de la raíz es negativo.  Esto significa que no hay solución real.

 

Si llamamos x = (1+r), entonces podemos solucionar el problema.  Puede observarse como este proyecto de inversión tiene un VAN negativo para cualquier tipo de descuento.

 

Para resolver estos problemas debemos saber que las inversiones no simples (las que algún flujo de caja es negativo, además del desembolso inicial) pueden diferenciarse a su vez en 2: puras y mixtas

 

b.2) Inversiones puras y mixtas

 

Además de diferenciar entre inversiones simples y no simples, es necesario distinguir también entre inversiones puras y mixtas. Al objeto de establecer esta última distinción, previamente tenemos que introducir el concepto de saldo de un proyecto o inversión.

 

Si suponemos que la Tasa Interna de Rentabilidad de un proyecto es r, el saldo del mismo en el momento j se define de la siguiente forma:

Sj(r) = -A (1+r)1 + Q1(1+r)j-1 + Q2(1+r)j-2 + … + Qj

0≤ j ≤ n

 

o puesto como suma del saldo anterior más el flujo de caja del periodo “j”:

Sj(r) = Sj-1(r)(1+r) + Qj

 

El saldo del proyecto al final de su vida, o saldo terminal, vendrá dado por la expresión:

 

Sn(r) = -A (1+r)n + Q1(1+r)n-1 + Q2(1+r)n-2 + … + Qn

 

Como consecuencia de la definición de T.I.R. (la tasa a la que el V.A.N. se hace 0), el saldo calculado a la misma Tasa Interna de Rentabilidad será 0 también.   Además, el saldo en el último año del proyecto calculado al coste del capital, k, será el valor capitalizado del V.A.N.

 

El saldo de los flujos de caja actualizados, es decir,  la suma de los flujos de caja llevados al momento 0, es el V.A.N. No debemos confundirlo con el saldo del proyecto en el momento 0 (=-A)). Es decir:

 

S0(k) = -A

S1(k) = -A (1+k)1 + Q1

S2(k) =[ -A (1+k)1 + Q1] (1+k) + Q2 = S1(k) (1+k) + Q2

Sj(k) = Sj- 1(k) (1+k) + Qj

Sn(k) = Sn- 1(k) (1+k) + Qn = VAN (1+k)n

 

Conviene observar que el concepto de saldo de un proyecto se define tanto para inversiones simples como no simples.   Es decir, unos flujos de caja Qj pueden estar afectados del signo positivo y otros del signo negativo (inversiones o proyectos no simples), o pueden estar todos los valores Qj afectados del signo positivo (inversiones o proyectos simples).

 

Pero, en cualquier caso, el saldo Sj(r) puede ser positivo, negativo o nulo. Cuando Sj(r) es positivo el proyecto está financiando a la empresa, o dicho de otra manera,  la empresa está endeudada con el proyecto, porque éste ha generado hasta ese momento una rentabilidad superior a la rentabilidad esperada r.   En cambio, si Sj(r) es negativo, el proyecto está endeudado con la empresa, por haber generado hasta ese momento una rentabilidad inferior a la normal, y la empresa ha obtenido del proyecto unos fondos superiores a los esperados.  Por último, si Sj(r) es igual a 0, la rentabilidad obtenida hasta j coincide con la esperada, y la cuenta entre el proyecto y la empresa se halla saldada en ese momento.

 

Una inversión se considera pura cuando

 

Sj(r)≤0, para j=0, 1, 2, … , n-1,

 

siendo r la Tasa Interna de Rentabilidad del proyecto. La denominación de pura obedece a que la empresa no está nunca endeudada con el proyecto en el sentido de que nunca recibe de él más de lo que cabría esperar mientras dura la inversión.

 

En cambio, la inversión es mixta cuando no se verifica la condición anterior, y algún saldo Sj(r) para j=1, 2, …, n-1, es positivo.

 

Como los proyectos o inversiones mixtos son en parte inversiones y en parte  financiaciones, la rentabilidad del proyecto suele estar relacionada funcionalmente con el coste del capital. Ésta es la causa precisamente de que en algunas inversiones mixtas existan múltiples Tasas Internas de Rendimiento (varias soluciones a la ecuación de forma real y postiva) o de que no exista ninguna Tasa Interna de Rendimientos real (números imaginarios).  En suma, podemos concluir que:

 

  • Toda inversión simple es pura.
  • Toda inversión mixta es no simple.
  • No toda inversión pura es simple, porque hay inversiones no simples que son también puras.
  • No toda inversión no simple es una inversión mixta, porque hay inversiones no simples que son también inversiones puras.

 

Estas diferencias proceden precisamente de los criterios diferentes aplicados para establecer estas 2 tipologías de inversiones. Así, mientras que:

 

  1. la división entre simple y no simple es en función del signo de todos los flujos de caja (si uno de ellos es negativo, será no simple, y si todos son positivos será simple),
  2. la diferenciación entre pura y mixta está determinada por el saldo de esos flujos de caja.

 

La Tasa Interna de Rentabilidad Modificada

 

El criterio de la Tasa Interna de Rentabilidad con ligeras modificaciones puede ser utilizado en el caso de proyectos o inversiones no simples. Esta modificación consiste en descontar los flujos de caja negativos al coste de capital de la empresa hasta que éstos queden compensados por los flujos de caja positivos.

 

Es decir, se trata de que los flujos de caja negativos queden absorbidos por los positivos mediante la consideración del valor del dinero en el tiempo para la empresa, de forma que una inversión no simple puede ser convertida en una de tipo simple. Veámoslo con un ejemplo

EJEMPLO 8 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD MODIFICADA

 

Supongamos el siguiente proyecto o inversión con una TIR del 22%:

 

Año 0 1 2 3 4 5 6
Flujo -15.000 6.000 9.000 7.000 455 5.000 -6.500

 

El método ampliado de la T.I.R. consiste en ajustar los flujos de caja del proyecto de forma que se eliminen los flujos negativos y consecuentemente “r” tenga una única raíz positiva.

 

Para ello, descontando -6.050 en un año al coste de capital de la empresa (10%), obtenemos -5.500, que sumando algebraicamente al flujo de caja del 5º periodo tendríamos un flujo ajustado de -500.

 

Debemos continuar  compensando el flujo de caja negativo, y por tanto si descontamos 500 al 10% tenemos 455,545 (=455). Consecuentemente, el flujo de caja negativo del 6º año ha sido absorbido por los flujos positivos del 4º y 5º periodo.

 

El nuevo esquema de flujos de caja ajustado del proyecto de inversión será:

 

Año 0 1 2 3 4 5 6
Flujo -15.000 6.000 9.000 7.000 0 0 0

 

La TIR modificada nos queda en 21%

 

El proyecto es equivalente al presentado anteriormente. Así, en base al método ampliado de la T.I.R hemos convertido una inversión no simple en una inversión simple.

 

El proyecto así presentado (con los flujos de caja ajustados) tiene una única Tasa Interna de Rentabilidad obtenida una vez deducidos de los flujos positivos aquellas cantidades que invertidas al coste de capital de la empresa generarán los fondos necesarios para compensar las pérdidas esperadas del proyecto.